Ableitung von Wurzelfunktionen

Um die bisherigen Rechenregeln für das Ableiten einsetzen zu können, müssen Sie nur eine andere Schreibweise verwenden, damit die Wurzelsymbole verschwinden. Dazu gelten folgende Umformungen.

√a = a ^(1/2)
n√a = a^(1/n)
n√a^m = a^(m/n)
1/(ⁿ√a^m) = a^-(m/n)

Mit der Hand geschrieben sehen diese Formeln etwas anders aus.

Sie sollten sich an verschiedene Schreibweisen gewöhnen, wie sie im praktischen Leben auf dem Computer, an der Tafel und in Büchern vorkommen.

Beispiel Ableitung der Quadratwurzel

Wie wird f(x) = √x abgeleitet?

1. Schritt: Weg mit der Wurzel. Dann wird aus √x = x^(1/2).

2. Schritt: Nun können Sie die Regel für die Ableitung von Potenzen verwenden. Diese Regel wurde Ihnen im letzten Kapitel vorgestellt und lautet:

f(x) = xⁿ
f´(x) = n x^{(n - 1)}

An Stelle von n müssen also nur 1/2 einsetzen.

Versuchen Sie es nun selbst. Das können Sie vielleicht sogar im Kopf lösen. Die Lösung und den Lösungsweg finden Sie hier. Der Lösungsweg ist ganz ausführlich erklärt. Jede notwendige Umformung ist aufgeführt.

Wie Sie vielleicht erkennen können, habe ich die Aufgabe mit Papier und Bleistift gelöst und Fehler mit dem Radiergummi entfernt. Papier, Bleistift und Radiergummi sind die besten und einfachsten Hilfsmittel, um Matheaufgaben durchzurechnen. Einen Bleistiftspitzer benötigen Sie auch noch. Und hier ein Bild zur Einprägung als Beweis, dass ich tatsächlich so arbeite, obwohl ich seit fast zwanzig Jahren täglich einen Computer verwende.

Um mit Wurzeln rechnen zu können, benötigen Sie noch zur Erinnerung die Regeln

für das Rechnen mit Potenzen 

und

für das Rechnen mit Wurzeln.


Lösungsstrategie für das Ableiten von Funktionen mit Wurzelzeichen:

1. Beseitigen Sie die Wurzelzeichen durch Umformen, so dass die Hochzahlen als Brüche stehen.

2. Falls x im Nenner steht, beseitigen Sie es dort durch Umfornen des Ausdrucks. Dies erreichen Sie durch Ändern des Vorzeichens der Hochzahl.

Den sicheren Umgang mit diesen Rechenregeln erlernen Sie ebenfalls nur durch das Lösen der nachfolgenden Übungsaufgaben. Leider kann Ihnen niemand auf der Welt das Üben abnehmen. Auch wenn sie es kapiert haben, müssen Sie trotzdem üben.

Nachsatz:

Eigenlich müsste die Formel zur Ableitung von Potenzen erweitert werden und

f(x) = a xⁿ
f´(x) = a n x^{(n - 1)}

lauten. Sie ist also nur um den Faktor a erweitert. Das a darf allerdings kein x sein.  Nachfolgend ein einfaches Beispiel:

f(x) = 5 x³

Das a ist hier die 5. Dann lautet die Ableitung

f´(x) = 5 * 3 * x^(3-1)
f´(x) = 15 x²