Kettenregel

In diesem Abschnitt wird Ihnen die Kettenregel für zwei miteinander verkettete Funktionen erklärt. In einem weiteren Schritt können Sie verstehen, wie Sie Funktionen ableiten können, die aus beliebig vielen, verketteten Funktionen bestehen. Doch zuvor reicht es, wenn Sie das Prinzip an einem Beispiel mit zwei Funktionen verstehen.

Im linken Bild sehen Sie das Beispiel, das Ihnen in 10 Schritten die Vorgensweise erklärt. Die einzelnen 10 Schritte sind im linken Bild gekennzeichnet. Gehen Sie die 10 Schritte durch, welche im nachfolgenden Text erklärt sind.

Schritt 1: Die Funktion f(x) = (4x-3)⁵ soll nach x abgeleitet werden. Ohne Kenntnis  der Kettenregel würden Sie die Produktregel einsetzen und versuchen

f(x) = (4x-3) (4x-3) (4x-3) (4x-3) (4x-3) zu

lösen. Das wäre viel zu kompliziert. Einfacher geht es mit der Kettenregel.

Die Funktion f(x) = (4x-3)⁵ setzt sich aus einer inneren und äußeren Funktion zusammen.

Schritt 2: Die innere Funktion lautet

u(x) = 4x-3

Das, was also in Klammern steht, haben wir zur inneren Funktion erklärt und wurde grün unterstrichen.


Schritt 3: die äußere Funktion lautet

v(u) = u⁵

4x-3, die innere Funktion also, wird einfach durch das u ersetzt.

Schritt 4: Ableitung der der inneren Funktion nach x

u(x) = 4x-3
u´(x) = 4

Schritt 5: Ableitung der äußeren Funktion nach u.  Wenn Sie Schwierigkeiten haben nach u abzuleiten, dann ersetzen Sie in Gedanken das u einfach durch ein x.

v(u) = u⁵
v´(u) = 5 u⁴

Schritt 6: Nun multiplizieren Sie die Ableitung der äußeren Funktion mit der Ableitung der inneren Funktion.

f´(x) = v´(u) * u´(x)

Schritt 7: Einsetzen der beiden Ableitungen:

f´(x) = 5 u⁴ * 4

Schritt 8: Ausrechen

f´(x) = 20 u⁴

Schritt 9 und 10: Ersetzen Sie das u wieder durch 4x -3.

f´(x) = 20 (4x-3)⁴

Nun haben Sie die Ableitung nach x mit Hilfe der Kettenregel gefunden.

Mit diesem Schema können Sie nun nach der Kettenregel ableiten.